Postingan

Soal 5 Seleksi tim Indonesia untuk IMC 2019 Day 1

Soal ini merupakan soal analisis kompleks. Karakteristik soal kompleks pada onmipa adalah jika kita mengetahui sifat yang diperlukan soal maka selanjutnya tinggal mengalir saja, kecuali dalam beberapa tipe soal yang membutuhkan manipulasi bilangan kompleks (namun untuk tipe soal analisis memang cara ini cukup powerful). Untuk soal ini, saya merasa aneh (mungkin modifikasi soalnya menjadikannya terlalu mudah (?)) mengingat soal-soal bidang analisis kompleks umumnya soal yang orisinil (makanya saya sangat suka ketika melihat soal analisis kompleks meskipun ga bisa ngerjain wkwk, soalnya cantik-cantik). Tetapi daripada berasumsi silahkan coba soal seleksi IMC No. 5 berikut ini Let $R$ be a positive real number such that the equation $f : D \to \mathbb{C}$ that satisfies the functional equation $f(z^2)=f(z)-z$ is analytic on $D=\{z \in \mathbb{C} : |z| \lt R\}$. Show that $R \leq 1$. For $R=1$, can you find an open connected set $E$ such that there exist an analytic function $g : E
Posting Komentar
Baca selengkapnya

Soal 2 Seleksi tim Indonesia untuk IMC 2019 Day 1

Selanjutnya adalah bidang aljabar linear, bidang favorit saya kedua setelah analisis kompleks (tentu saja kombin masuk urutan terakhir, apalagi geometri). Soal ini membawa saya nostalgia ke zaman muda saya, berikut soalnya. Misalkan $A$ dan $B$ matriks berukuran $n \times n$ yang memenuhi $AB=BA$. Buktikan bahwa terdapat $\textbf{y}$ yang merupakan vektor eigen matriks $A$ dan $B$. $\textbf{Motivasi.}$ Untuk mengerjakan soal ini diperlukan jam terbang yang tinggi sehingga bisa memunculkan ide. Pertama-tama yang bisa dilakukan adalah mengobservasi apakah hubungan dari vektor eigen $A$ dengan vektor eigen $B$ mengingat $AB=BA$. Selanjutnya mengalir saja dengan mengembangkan sifat yang diperoleh. Awalnya saya menebak soal ini dapat dikerjakan dengan menggunakan dekomposisi jordan mengingat ada sifat tentang matriks yang simultaniously diagonalized (atau semacamnya), namun saya berpesan ketika mengerjakan soal aljabar linear gunakan cara elementer dahulu. Jika dirasa tidak mampu baru
Posting Komentar
Baca selengkapnya

Soal 3 Seleksi tim Indonesia untuk IMC 2019 Day 1

Menurut saya soal ini bagus untuk mengetes konsep yang dimiliki peserta. Berikut ini soal dan coretan saya Suppose $(A,+,\cdot)$ is a ring in which $x^2=0$ only for $x=0$. Let $B=\{a \in A~|~a^2=1\}$. Prove that : For all $a \in A$ and $b \in B$ we have $ab-ba=bab-a$ $(B,\cdot)$ is a group. \(\textbf{Motivasi.}\) Untuk bagian (a), kita observasi dulu sifat keanggotaan di $A$. Perhatikan bahwa pada $A$ berlaku $x^2=0$ jika dan hanya jika $x=0$. Dari sini, $\textbf{andaikan}$ bagian (a) benar maka untuk setiap $a \in A$ dan $B \in B$ berlaku $ab-ba-bab+a=0$, sehingga menurut sifat keanggotaan $A$ akan diperoleh $(ab-ba-bab+a)^2=0$. Jadi untuk membuktikan yang diminta, akan dibuktikan $(ab-ba-bab+a)^2=0$ untuk setiap $a \in A$ dan $b \in B$. (Dalam pengerjaan soal tipe seperti ini memang lazim digunakan cara bekerja mundur). Untuk bagian (b), kita diminta membuktikan $B$ merupakan grup terhadap operasi perkalian. Sehingga perlu dibuktikan bahwa $B$ tertutup terhadap perkalian
Posting Komentar
Baca selengkapnya

Soal 1 Seleksi tim Indonesia untuk IMC 2019 Day 1

Hai fans,hari ini merupakan hari pertama seleksi IMC 2019 yang mana akan diambil 7-9 orang terbaik untuk mewakili Indonesia dalam ajang International Mathematics Competition di Bulgaria (Jadi keinget tahun lalu hiks). Meskipun saya tidak diundang lagi, disini saya akan mencoba membagikan coretan saya ketika mengerjakan soal hari pertama pada tes kali ini. Berikut ini soalnya. For \(1\leq r \leq k\), prove combinatorially that : $$ \binom{n}{k}=\sum_{j=r}^{n+r-k} \binom{j-1}{r-1} \binom{n-j}{k-r} $$ \(\textbf{Motivasi.}\) Dimisalkan \(S=\{1,2,\dots,n\}\). Jika dilihat ruas kiri merupakan banyaknya subset $S$ yang mempunyai \(k\) anggota sehingga untuk mendapatkan ruas kanan kita harus mencari cara lain penghitungan banyaknya subset dari \(S\) yang mempunyai \(k\) anggota. Perhatikan jumlahan di ruas kanan terdiri dari perkalian dua binomial yaitu \(\binom{j-1}{r-1}\) dan \(\binom{n-j}{k-r}\). Hal yang sering dilakukan adalah melihat jumlahan bagian atas dan bagian bawah dari
Posting Komentar
Baca selengkapnya