Soal 3 Seleksi tim Indonesia untuk IMC 2019 Day 1

Menurut saya soal ini bagus untuk mengetes konsep yang dimiliki peserta. Berikut ini soal dan coretan saya
Suppose $(A,+,\cdot)$ is a ring in which $x^2=0$ only for $x=0$. Let $B=\{a \in A~|~a^2=1\}$. Prove that :

1. For all $a \in A$ and $b \in B$ we have $ab-ba=bab-a$
2. $(B,\cdot)$ is a group.

$\textbf{Motivasi.}$

Untuk bagian (a), kita observasi dulu sifat keanggotaan di $A$. Perhatikan bahwa pada $A$ berlaku $x^2=0$ jika dan hanya jika $x=0$. Dari sini, $\textbf{andaikan}$ bagian (a) benar maka untuk setiap $a \in A$ dan $B \in B$ berlaku $ab-ba-bab+a=0$, sehingga menurut sifat keanggotaan $A$ akan diperoleh $(ab-ba-bab+a)^2=0$. Jadi untuk membuktikan yang diminta, akan dibuktikan $(ab-ba-bab+a)^2=0$ untuk setiap $a \in A$ dan $b \in B$. (Dalam pengerjaan soal tipe seperti ini memang lazim digunakan cara bekerja mundur).

Untuk bagian (b), kita diminta membuktikan $B$ merupakan grup terhadap operasi perkalian. Sehingga perlu dibuktikan bahwa $B$ tertutup terhadap perkalian dan aksioma-aksioma pada grup berlaku di $B$. Khusus untuk operasi perkalian tertutup artinya kita harus membuktikan jika $x^2=1,y^2=1$ maka $(xy)^2=1$ sama dengan bagian (a), kita bisa bekerja mundur untuk membuktikannya. Jadi $\textbf{andaikan}$ pernyataan jika $x^2=1,y^2=1$ maka $(xy)^2=1$ benar, dengan mengalikan $x$ dari kiri dan $y$ dari kanan pada $xy=1$ diperoleh $xy=yx$. Jadi jika kita ingin membuktikan $x^2=1,y^2=1$ maka $(xy)^2=1$ benar sama saja dengan membuktikan $xy=yx$ untuk setiap $x,y \in B$. Hal ini mirip dengan soal (a) sehingga cukup manusiawi jika kita berfikir bagian (b) mempunyai kaitan dengan bagian (a).

$\textbf{Solusi.}$

Diketahui $(A,+,\cdot)$ ring dengan sifat $x^2=0$ jika dan hanya jika $x=0$.Dimisalkan $B=\{a \in A~|~a^2=1\}$, dari sini diperoleh fakta $A$ mempunyai identitas terhadap perkalian yaitu $1$.

1. Diambil sebarang $a \in A$ dan $b \in B$ artinya $b^2=1$, akan dibuktikan $ab-ba=bab-a$. Diperhatikan bahwa
   $$\begin{align*} ab-bab-ba+a&=(1-b)ab-(b-1)a\\ &=(1-b)ab+(1-b)a\\ &=(1-b)a(1+b) \end{align*}$$
   Dari sini diperoleh
   $$\begin{align*} (ab-bab-ba+a)^2&=((1-b)a(1+b))^2\\ &=(1-b)a(1+b)(1-b)a(1+b)\\ &=(1-b)a(1+b-b-b^2)a(1+b)\\ &=(1-b)a(1+b-b-1)a(1+b)\\ &=(1-b)a\cdot 0 \cdot a(1-b)\\ &=0 \end{align*}$$
   Mengingat $A$ ring maka dengan mengambil $x=ab-bab-ba+a \in A$ pada sifat keanggotan $A$ berakibat
   $$\begin{align*} &(ab-bab-ba+a)^2=0\\ &\Leftrightarrow ab-bab-ba+a=0 \\ &\Leftrightarrow ab-ba=bab-a \end{align*}$$
   Terbukti.
   $\blacksquare$
   
2. Akan dibuktikan $B$ grup terhadap operasi perkalian. Diperhatikan $B \subset A$ sehingga operasi perkalian pada $B$ bersifat welldefined dan asosiatif.
   

   Akan dibuktikan $B$ tertutup terhadap operasi perkalian. Diambil sebarang $x,y \in B$, artinya $x^2=y^2=1$. Dari bagian (a) kita punyai $ab-ba=bab-a$ untuk setiap $a \in R$ dan $b \in B$. Set $a=x$ dan $b=y$, diperoleh
   $$xy-yx=yxy-x \Leftrightarrow yxy=x+xy-yx$$
   
   Selanjutnya akan dibuktikan $xy=yx$, dengan cara yang sama dengan bagian (a) diperhatikan bahwa
   
   $$\begin{align*} (xy-yx)^2&=xyxy-xy^2x-yx^2y+yxyx\\ &=x(x+xy-yx)-x^2-y^2+(x+xy-yx)x\\ &=x^2+x^2y-xyx-x^2-y^2+x^2+xyx-yx^2\\ &=1+y-xyx-1-1+1+xyx-y\\ &=0 \end{align*}$$
   Akibatnya dengan sifat keanggotaan $A$ diperoleh $xy-yx=0 \Leftrightarrow xy=yx$. Dari sini diperoleh $(xy)^2=(xy)(xy)=(xy)(yx)=xy^2x=x^2=1$, terbukti bahwa $B$ tertutup terhadap perkalian.
   
   

   Selanjutnya akan dibuktikan $B$ memenuhi aksioma grup terhadap operasi perkalian. Dipilih $1 \in A$ diperoleh $1^2=1$ sehingga $1 \in B$, karena elemen satuan tunggal diperoleh $B$ memuat elemen satuan. Akan dibuktikan untuk setiap elemen $b \in B$ terdapat $x \in B$ sedemikian hingga $bx=xb=1$. Diambil sebarang $b \in B$ artinya $b^2=1$. Selanjutnya dipilih $x=b \in B$ sehingga $xb=b^2=1$ begitu juga $bx=1$. Terbukti bahwa $B$ merupakan grup. $\blacksquare$.