Soal 2 Seleksi tim Indonesia untuk IMC 2019 Day 1
Misalkan $A$ dan $B$ matriks berukuran $n \times n$ yang memenuhi $AB=BA$. Buktikan bahwa terdapat $\textbf{y}$ yang merupakan vektor eigen matriks $A$ dan $B$.
$\textbf{Motivasi.}$
Untuk mengerjakan soal ini diperlukan jam terbang yang tinggi sehingga bisa memunculkan ide. Pertama-tama yang bisa dilakukan adalah mengobservasi apakah hubungan dari vektor eigen $A$ dengan vektor eigen $B$ mengingat $AB=BA$. Selanjutnya mengalir saja dengan mengembangkan sifat yang diperoleh. Awalnya saya menebak soal ini dapat dikerjakan dengan menggunakan dekomposisi jordan mengingat ada sifat tentang matriks yang simultaniously diagonalized (atau semacamnya), namun saya berpesan ketika mengerjakan soal aljabar linear gunakan cara elementer dahulu. Jika dirasa tidak mampu baru menggunakan dekomposisi atau cara magic lainnya.
$\textbf{Solusi.}$
Dimisalkan $E_\lambda$ merupakan ruang eigen matriks $A$ yang berkorespondensi dengan nilai eigen $\lambda$. Diambil sebarang $t$ nilai eigen $A$ dengan $\textbf{x} \in E_t$ artinya $A\textbf{x}=t\textbf{x}$. Dengan mengalikan $B$ dari kiri diperoleh $B(A\textbf{x})=B(t\textbf{x})=t(B\textbf{x})$, karena $AB=BA$ maka $A(B\textbf{x})=BA\textbf{x}=t(B\textbf{x})$. Jadi jika $\textbf{x} \in E_t$ maka $B\textbf{x} \in E_t$.
Misalkan $\{\textbf{x}_1,\textbf{x}_2,\dots,\textbf{x}_k\}$ basis $E_t$ dibentuk
$$
X=\left[
\textbf{x}_1~\textbf{x}_2~\dots~\textbf{x}_k
\right].
$$
diperoleh
\begin{align*}
AX&=A\left[
\textbf{x}_1~\textbf{x}_2~\dots~\textbf{x}_k
\right]\\
&=\left[
A\textbf{x}_1~A\textbf{x}_2~\dots~A\textbf{x}_k
\right]\\
&=\left[
t\textbf{x}_1~t\textbf{x}_2~\dots~t\textbf{x}_k
\right]\\
&=t\left[
\textbf{x}_1~\textbf{x}_2~\dots~\textbf{x}_k
\right]\\
&=tX.
\end{align*}
Diperhatikan bahwa untuk setiap $1 \leq i \leq k$, berlaku $\textbf{x}_i \in E_t$ akibatnya $B\textbf{x}_i \in E_t$ sehingga terdapat $c_{i1},c_{i2},\dots,c_{ik} \in \mathbb{R}$ sedemikian hingga
\[
B\textbf{x}_i=c_{i1}\textbf{x}_1+c_{i2}\textbf{x}_2+\dots+c_{ik}\textbf{x}_k
\]
dari sini diperoleh
\begin{align*}
B\textbf{x}_1&=c_{11}\textbf{x}_1+c_{12}\textbf{x}_2+\dots+c_{1k}\textbf{x}_k\\
B\textbf{x}_2&=c_{21}\textbf{x}_1+c_{22}\textbf{x}_2+\dots+c_{2k}\textbf{x}_k\\
B\textbf{x}_3&=c_{31}\textbf{x}_1+c_{32}\textbf{x}_2+\dots+c_{3k}\textbf{x}_k\\
&\vdots\\
B\textbf{x}_k&=c_{k1}\textbf{x}_1+c_{k2}\textbf{x}_2+\dots+c_{kk}\textbf{x}_k
\end{align*}
sehingga
\[
BX=\left[
B\textbf{x}_1~B\textbf{x}_2~\dots~B\textbf{x}_k
\right] = XC
\]
dengan
\[
C=\left(
\begin{array}{llll}
c_{11}&c_{12}&\dots&c_{1k}\\
c_{21}&c_{22}&\dots&c_{2k}\\
c_{31}&c_{32}&\dots&c_{3k}\\
\vdots\\
c_{k1}&c_{k2}&\dots&c_{kk}\\
\end{array}
\right)
\]
Diambil sebarang $\textbf{w}$ vektor eigen $C$ yang berkorespondensi dengan nilai eigen $s$, artinya $C \textbf{w}=s\textbf{w}$. Dipilih $\textbf{y}=X\textbf{w}$, diperhatikan bahwa \[
A\textbf{y}=AX\textbf{w}=tX\textbf{w}=t\textbf{y}
\]
dan
\[
B\textbf{y}=BX\textbf{w}=XC\textbf{w}=X(s\textbf{w})=sX\textbf{w}=s\textbf{y}
\]
Jadi, $\textbf{y}$ vektor eigen $A$ dan $B$. $\blacksquare$
$\textbf{PS : }$ Pertama melihat soal ini saya merasa familiar, dan ternyata benar. Soal ini walaupun redaksinya beda pernah muncul di buku latihan yang saya baca (red : hafalkan) lol. Kalau temen-temen berminat membaca silahkan cari buku Meyer, $\textit{Matrix Analysis and Applied}$. Sedikit cerita, jadi selama perjalanan onmipa saya, saya menggunakan trik satu tahun satu bidang jadi tahun pertama saya menguatkan bidang analisis real, tahun kedua struktur aljabar, dan tahun ketiga aljabar linear. Ketika tahun ketiga saya sudah menemukan feel bagaimana cara belajar yang benar yaitu dengan menulis semua soal yang saya kerjakan di buku dengan membagi tiap bidang kemudian H-3 lomba saya review soal dari buku saya tanpa menambah materi dan alhamdulillah setelah penantian panjang di tahun ketiga saya bisa mendapatkan emas dan beruntung mewakili Indonesia dalam ajang IMC 2018 XD.
Komentar