Soal 5 Seleksi tim Indonesia untuk IMC 2019 Day 1
Soal ini merupakan soal analisis kompleks. Karakteristik soal kompleks pada onmipa adalah jika kita mengetahui sifat yang diperlukan soal maka selanjutnya tinggal mengalir saja, kecuali dalam beberapa tipe soal yang membutuhkan manipulasi bilangan kompleks (namun untuk tipe soal analisis memang cara ini cukup powerful). Untuk soal ini, saya merasa aneh (mungkin modifikasi soalnya menjadikannya terlalu mudah (?)) mengingat soal-soal bidang analisis kompleks umumnya soal yang orisinil (makanya saya sangat suka ketika melihat soal analisis kompleks meskipun ga bisa ngerjain wkwk, soalnya cantik-cantik). Tetapi daripada berasumsi silahkan coba soal seleksi IMC No. 5 berikut ini
Let $R$ be a positive real number such that the equation $f : D \to \mathbb{C}$ that satisfies the functional equation $f(z^2)=f(z)-z$ is analytic on $D=\{z \in \mathbb{C} : |z| \lt R\}$.
- Show that $R \leq 1$.
- For $R=1$, can you find an open connected set $E$ such that there exist an analytic function $g : E \to \mathbb{C}$ with the condition $g(z)=f(z), \forall z \in D$
$\textbf{Motivasi.}$
Saya pribadi jika bertemu soal analisis kompleks yang berkaitan dengan fungsi analitik akan menggunakan sifat deret taylor fungsi analitik akan selalu konvergen pada daerah analitiknya (Sifat ini bisa dibaca di literatur analisis kompleks atau kunjungi link wiki)
$\textbf{Solusi}$
Untuk keperluan kontradiksi, diandaikan $ R \gt 1$. Hal ini berakibat $D$ memuat $z=1$. Karena $f$ memenuhi persamaan $f(z^2)=f(z)-z$ pada $D$ maka untuk $z=1$ berlaku
\[
f(1)=f(1)-1.
\]
Hal ini tidak mungkin dipenuhi untuk setiap bilangan $f(1) \in \mathbb{C}$ sehingga kontradiksi dan pengandaian harus diingkar. Dapat disimpulkan $R \leq 1$. $\blacksquare$.
$\textbf{Klaim}$ : Untuk $R=1$ terdapat himpunan open connected $E$ dan $g$ analitik sedemikian hingga $f(z)=g(z)$ untuk setiap $z \in D$.
$\textbf{Bukti klaim}$ :
Diketahui $f$ memenuhi $f(z^2)=f(z)-z$ pada $D$, diperhatikan bahwa untuk setiap $z \in D$ misalkan $|z|=r \lt 1$ diperoleh $|z^2|=r^2 \lt r \lt 1$ sehingga $z^2 \in D$. Selanjutnya diperhatikan persamaan
\begin{equation}\label{1}
f(z)=f(z^2)+z
\end{equation}
dengan mensubstitusikan $z^2$ pada persamaan (\ref{1}) diperoleh
\begin{align*}
f(z^4)=f(z^2)+z^2
\end{align*}
begitu seterusnya sehingga diperoleh
\begin{align*}
f(z)&=f(z^2)+z\\
f(z^2)&=f(z^4)+z^2\\
f(z^4)&=f(z^8)+z^4\\
&\vdots\\
f(z^{2^{N-1}})&=f(z^{2^{N}})+z^{2^{N-1}}
\end{align*}
Dengan menjumlahkan persamaan-persamaan diatas diperoleh
\begin{equation}\label{2}
f(z)=f(z^{2^N})+\sum_{k=1}^{N-1} z^{2^k}
\end{equation}
untuk setiap $N \in \mathbb{N}$.
Selanjutnya diambil $R=1$ diketahui $f : D \to \mathbb{C}$ analitik pada $D= \{z \in \mathbb{C}:|z| \lt 1\}$. Secara khusus, $f$ analitik di titik $z=0$ sehingga deret taylor $f$ di sekitar $z=0$
\[
\sum_{j=0}^{\infty} a_j z^j
\]
konvergen ke $f(z)$ untuk setiap $z \in D$. Dengan memanfaatkan persamaan (\ref{2}) diperoleh
\begin{equation}\label{3}
\sum_{j=0}^{\infty} a_jz^j=\sum_{j=0}^{\infty} a_jz^{2^Nj}+\sum_{k=1}^{N-1} z^{2^k}
\end{equation}
untuk setiap $N \in \mathbb{N}$.
Diambil sebarang $z \in D$ misal $|z|=r \lt 1$ maka $\lim_{N \to \infty} |z^{2^N}|=\lim_{N \to \infty} r^{2^N}= 0$, mengingat deret taylor $f$ konvergen seragam untuk setiap $z \in D$ dapat dilakukan penukaran limit dengan sigma yaitu
\begin{align*}
\lim_{N \to \infty} \sum_{j=0}^{\infty} a_jz^{2^Nj} &= \sum_{j=0}^{\infty} \left( \lim_{N \to \infty} a_jz^{2^Nj} \right)\\
&=a_0+\sum_{j=0}^{\infty} a_j \cdot 0\\
&=a_0+0\\
&=a_0
\end{align*}
Dari sini dengan mengambil $N \to \infty$ pada (\ref{3}) diperoleh
\[
\sum_{j=0}^{\infty} a_jz^j=a_0+\sum_{k=1}^{\infty} z^{2^k}
\]
Diambil sebarang open connected set $E$ di dalam $D$ dan $g(z)=a_0+\sum_{k=1}^{\infty} z^{2^k}$ untuk setiap $z \in E$ berlaku
\[
f(z)=\sum_{j=0}^{\infty} a_jz^j=a_0+\sum_{k=1}^{\infty} z^{2^k}=g(z).
\]
untuk setiap $z \in D$.
Klaim terbukti. $\blacksquare$
$\textbf{PS :}$ Jika redaksi soal ada yang salah boleh dibenarkan di kolom komentar, saya merasa soal ini agak aneh jika redaksi soalnya seperti di atas.
Komentar